2022年重庆中考数学试卷真题解析
第一部分：选择题
1. 如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，若过斜边的中点作垂线于斜边，且垂足到斜边的距离为1，则这条等腰直角三角形的周长是多少？
首先，连一条从等腰直角三角形直角顶点到底边中点的线段，如图所示：
![\"image\"](\"https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/p8v7aez3.png\")
设等腰直角三角形斜边长为a，则直角边长为2，根据勾股定理可得：
$$a=\\sqrt{2^2+2^2}=2\\sqrt{2}$$
由于垂足到斜边的距离为1，根据正弦定理可得：
$$\\frac{2}{\\sin{45^{\\circ}}}=\\frac{a}{\\sin{A}}$$
其中，A为等腰直角三角形的底角。化简可得：
$$\\sin{A}=\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}}=2$$
显然，$\\sin{A}$不可能大于1，因此该题无解。答案为无解。
2. 在有理数集$\\frac{-11}{6}$和$\\frac{5}{4}$之间，比$\\frac{-11}{6}$大的最小整数是：
将有理数$\\frac{-11}{6}$和$\\frac{5}{4}$通分可得：
$$\\frac{-11}{6}=\\frac{-22}{12},\\ \\frac{5}{4}=\\frac{15}{12}$$
因此，要找到一个比$\\frac{-11}{6}$大的最小整数，就相当于找到一个最小的正整数n，使得：
$$\\frac{n}{12}>\\frac{-22}{12}$$
移项可得：
$$n>\\frac{2}{3}$$
因为n是一个正整数，所以n最小为2。因此，比$\\frac{-11}{6}$大的最小整数是2。
3. 在等差数列$5,9,\\cdots$中，第12个数是多少？
根据等差数列的通项公式可得：
$$a_n=a_1+(n-1)d$$
其中，$a_n$为第n项，$a_1$为首项，d为公差。由题目已知，$a_1=5$，$d=9-5=4$，$n=12$。带入公式可得：
$$a_{12}=5+(12-1)\imes 4=5+44=49$$
因此，等差数列$5,9,\\cdots$中第12个数是49。
第二部分：解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，目标点B的坐标为(x,y)，若过点O(0,0)作该线段AB的垂线，垂足为C，则当OC=3时，点B的坐标为？
首先，作出线段OA、OC和AB，如图所示：
![\"image\"](\"https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/d2r8x9d3.png\")
根据题意，OC=3，因此OB=OC+BC=3+4=7。设点B的坐标为$(x,y)$，则可列出如下方程组：
$$\\begin{cases} y=\\frac{x}{2}+\\frac{1}{2} \\\\ x^2+y^2=7^2 \\end{cases}$$
将第一个方程中的y代入第二个方程可得：
$$x^2+\\left(\\frac{x}{2}+\\frac{1}{2}\\right)^2=7^2$$
移项并化简可得：
$$x^2+\\frac{x^2}{4}+x+\\frac{5}{4}=49$$
将同类项化归并移项可得：
$$\\frac{5}{4}=\\frac{3}{4}x^2-x$$
化简后可得一个二次方程：
$$3x^2-4x-5=0$$
用求根公式求得：
$$x=\\frac{4\\pm\\sqrt{76}}{6}=\\frac{2\\pm 2\\sqrt{19}}{3}$$
将x的两个解分别代入第一个方程可得y的两个解：
$$y_1=\\frac{x}{2}+\\frac{1}{2}=\\frac{\\sqrt{19}}{3}+\\frac{1}{2},\\ y_2=\\frac{x}{2}+\\frac{1}{2}=-\\frac{\\sqrt{19}}{3}+\\frac{1}{2}$$
因为OC落在y轴的正半轴，所以y的解应当为正数。因此，点B的坐标为$(\\frac{2+2\\sqrt{19}}{3},\\frac{\\sqrt{19}}{3}+\\frac{1}{2})$。答案为$(\\frac{2+2\\sqrt{19}}{3},\\frac{\\sqrt{19}}{3}+\\frac{1}{2})$。
2. 已知函数$f(x)=x^3-3x(x\\in\\mathbb{R})$，求解不等式$f(x)>0$的解集。
首先，求出函数$f(x)$的零点，即令$f(x)=0$求解：
$$x^3-3x=0$$
移项并因式分解，得：
$$x(x^2-3)=0$$
因此，$f(x)$的零点为0和$\\sqrt{3}$。然后可以把数轴按照零点0和$\\sqrt{3}$分成三部分，分别在这三部分判断$f(x)$的正负性：
| 数轴区间 | $x\\in$区间内的$f(x)$ | $f(x)$的正负性 |
|---|---|---|
| $x<0$ | $x^3-3x<0$ | 负 |
$0| $x^3-3x>0$ |
正 |
|
| $x>\\sqrt{3}$ | $x^3-3x<0$ | 负 |
因此，$f(x)>0$的解集为$x\\in(0,\\sqrt{3})$。答案为$(0,\\sqrt{3})$。
第三部分：应用题
1.如图，棕色圆形的半径为8，绿色圆形的半径为12，棕绿相切于点T，绿紫相切于点K，求棕紫相切于点H的圆形的半径。
首先，按照题目要求作出两个图形，如图所示：
![\"image\"](\"https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/m71hz0as.png\")
标出各中心点，并连接相切点T、K和H，如图所示：
![\"image\"](\"https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/tuyzfg6i.png\")
因为棕绿相切于点T，因此绿色圆的切线TM与黄绿中心线HT垂直。同理，因为绿紫相切于点K，因此绿色圆的切线KM与紫色圆的中心线HK垂直。因此，绿色圆的半径和棕紫相切圆的半径加起来等于HT和HK的平均数。
设棕紫相切圆的半径为r，则可得：
$$r=\\frac{HT+HK}{2}=\\frac{HM}{2}$$
其中，M为点H所在直线与绿色圆的交点。
根据勾股定理，可得TH的长度为20。由于TMPH和MNPQ是相似的（因为棕绿相切于点T，绿紫相切于点K），因此可以列出比例式：
$$\\frac{PM}{NH}=\\frac{MP}{QN}$$
移项并化简可得：
$$PM=\\frac{8r}{r+4},\\ NH=\\frac{12r}{r+4}$$
将$PM$和$NH$代入比例式可得：
$$\\frac{8r}{r+4}\\div\\frac{NM}{2}=\\frac{MP}{\\frac{4r}{r+4}\imes 2}$$
移项并化简可得：
$$\\frac{r}{r+4}=\\frac{3}{4}$$
解方程可得$r=12$。因此，棕紫相切于点H的圆形的半径为12。
